[典例1] (1)如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝，面对角线B1D1上存在一点P使得A1P＋PB最短，则A1P＋PB的最小值为( )
A． B．
C．2＋ D．2
(2)如图所示，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD＝AE＝AP＝2.
若点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．
(1)A [如图，把△A1B1D1折起至与平面BDD1B1
共面，连接A1B交B1D1于P，则此时的A1P＋PB最短，即为A1B的长，在△A1B1B中，由余弦定理求得A1B＝，故选A．]
(2)[解] 因为PA⊥平面ADE，AD⊂平面ADE，AB⊂平面ADE，所以PA⊥AD，PA⊥AB，又因为AE⊥AD，B为AE中点，所以PA，AD，AB两两垂直．
以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．
＝(－1,0,2)，故可设＝λ＝(－λ，0,2λ)(0≤λ≤1)．
又＝(0，－1,0)，所以＝＋＝(－λ，－1,2λ)．
又＝(0，－2,2)，
所以cos〈，〉＝＝.
设1＋2λ＝t，t∈[1,3]，
则cos2〈，〉＝＝≤，
当且仅当t＝，
即λ＝时，
|cos〈，〉|的最大值为.
因为y＝cos x在上是减函数，
所以当λ＝时直线CQ与DP所成角取得最小值．
又因为BP＝＝，所以BQ＝BP＝.
点评：本例(1)属于线段和的最值问题，求解时采用了化空间为平面，化折为直的重要手段；本例(2)属于解决空间角的最值问题，求解时采用了把空间角的余弦三角函数值表示为参数λ的二次函数，利用这个函数的单调性求三角函数值的最值，求解时需要注意的是函数中自变量的取值范围对最值的决定作用．
