函数的单调性与导数的关系
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条件
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结论
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函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导
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f′(x)＞0
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f(x)在(a，b)内单调递增
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f′(x)＜0
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f(x)在(a，b)内单调递减
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f′(x)＝0
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f(x)在(a，b)内是常数函数
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提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．
1．在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在(a，b)内f′(x)≤0，且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数． ( )
(2)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)＜0，则函数f(x)在定义域上一定单调递减． ( )
(3)已知函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f′(x)＞0恒成立． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
二、教材习题衍生
1.如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是( )
A．在区间(－3,1)上f(x)是增函数
B．在区间(1,3)上f(x)是减函数
C．在区间(4,5)上f(x)是增函数
D．在区间(3,5)上f(x)是增函数
C [由图象可知，当x∈(4,5)时，f′(x)＞0，故f(x)在(4,5)上是增函数．]
