[例] (2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数ƒ(x)＝aex－ln x－1.
(1)设x＝2是ƒ(x)的极值点，求a，并求ƒ(x)的单调区间；
(2)证明：当a≥时，ƒ(x)≥0.
[解析] (1)ƒ(x)的定义域为(0，＋∞)，ƒ′(x)＝aex－.
由题设知，ƒ′(2)＝0，所以a＝.
从而ƒ(x)＝ex－ln x－1，ƒ′(x)＝ex－.当0＜x＜2时，ƒ′(x)＜0；当x＞2时，ƒ′(x)＞0.
所以ƒ(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．
(2)证明：当a≥时，ƒ(x)≥－ln x－1.设g(x)＝－ln x－1，则g′(x)＝－.当0＜x＜1时，g′(x)＜0；当x＞1时，g′(x)＞0.
所以x＝1是g(x)的最小值点．
故当x＞0时，g(x)≥g(1)＝0.
因此，当a≥时，ƒ(x)≥0.
[破题技法] 利用导数证明不等式f(x)＞g(x)的基本方法
(1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min＞g(x)max；
(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)＞0.
