椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
解析：(1)∵△ABF2的周长为4a，∴4a＝8，∴a＝2.
又∵e＝＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝4－1＝3，
∴椭圆E的方程是＋＝1.
(2)由⇒(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，设P(x0，y0)，判别式Δ＝(8km)2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0，同时有x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，易得Q(4，4k＋m)．
若定点M存在，则必在x轴上，因此，可设M(t，0)，由·＝0得(4t－4)＋t2－4t＋3＝0.
由解得t＝1.所以存在定点M(1，0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.
