6.3 利用导数解决实际问题
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用．(重点)
2．能利用导数求出某些实际问题的最大值(最小值)．(难点、易混点)
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1.通过导数的实际应用的学习，培养数学建模素养．
2．通过解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题，提升逻辑推理、数学运算素养.
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“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学．”著名数学家华罗庚曾如此精辟地论述了数学与生活的关系．导数作为数学工具是如何在生活中应用的呢？
用导数解决最优化问题的基本思路
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在经济活动中，怎样使经营成本最小的问题属于最优化问题． ( )
(2)解决应用问题的关键是建立数学模型． ( )
(3)生活中常见的收益最高，用料最省的问题就是数学中的最大、最小值问题． ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B. C．－1 D．－8
C [原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.]
3．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )
A．6 m B．8 m C．4 m D．2 m
C [设底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为S m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.S′＝2x－，
令S′＝0，得x＝8，
因此h＝＝4(m)．]
4．某一件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为______元时，利润最大．
115 [利润为S(x)＝(x－30)(200－x)
＝－x2＋230x－6 000，
S′(x)＝－2x＋230，
由S′(x)＝0，得x＝115，这时利润达到最大．]
