6.1.4 求导法则及其应用
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数．(重点)
2．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．(难点)
3．掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数．(易混点)
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1.通过学习导数的四则运算法则，培养数学运算素养．
2．借助复合函数的求导法则的学习，提升逻辑推理、数学抽象素养.
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如何求下列函数的导数：
(1)y＝x；
(2)y＝2x2＋sin x.
问题：由此你能类比联想一下[f(x)＋g(x)]′的求导法则吗？
1．导数的运算法则
(1)和差的导数
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)积的导数
①[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
②[Cf(x)]′＝Cf′(x)．
(3)商的导数
′＝，g(x)≠0.
拓展：①[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x)．
②[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)(a，b为常数)．
2．复合函数的概念及求导法则
(1)复合函数的概念
一般地，已知函数y＝f(u)与u＝g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值．如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f(g(x))有意义，且称y＝h(x)＝f(g(x))为函数f(u)与g(x)的复合函数，其中u称为中间变量．
(2)一般地，如果函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则可以证明，复合函数的导数h′(x)与f′(u)，g′(x)之间的关系为h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)g′(x)＝f′(g(x))g′(x)．
这一结论也可以表示为y′x＝y′uu′x.
思考：函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？
[提示] 函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数f(x)＝是复合函数． ( )
(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cos(－x)． ( )
(3)y＝e2x的导数y′＝2e2x. ( )
(4)[f(x)g(x)h(x)]′＝f′(x)g′(x)h′(x)． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．函数f(x)＝xex的导数f′(x)＝( )
A．ex(x＋1) B．1＋ex
C．x(1＋ex) D．ex(x－1)
A [f′(x)＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)，选A.]
3．若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a＝________.
1 [∵f(x)＝ax2＋c，
∴f′(x)＝2ax，故f′(1)＝2a＝2，∴a＝1.]
4．若y＝，则y′＝________.
[∵y＝ln x，
∴y′＝·＝.]
