第2课时 等比数列的性质
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.理解等比中项的概念．(易错点)
2.掌握等比数列的性质及其应用．(重点)
3.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点、易错点)
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1.通过等比数列性质的学习，培养逻辑推理的素养.
2.通过等比数列与等差数列的综合应用的学习，提升数学运算素养.
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在等差数列{an}中，通项公式可推广为an＝am＋(n－m)d，并且若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)，特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
问题：在等比数列中有无类似的性质？
1．等比中项
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定义
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如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项
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关系式
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G2＝xy
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结论
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在等比数列中，中间每一项都是它的前一项与后一项的等比中项
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思考：G是x与y的等比中项的充要条件为G2＝xy吗？
[提示] 不是．若G是x与y的等比中项，则G2＝xy，反之不成立．
2．等比数列的性质
在等比数列{an}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N＋)，则as·at＝ap·aq.
(1)特别地，当2s＝p＋q(s，p，q∈N＋)时，ap·aq＝a.
(2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
拓展：(1)“子数列”性质
对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk.
(2)两个等比数列合成数列的性质
若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{an·bn}，也为等比数列．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任意两个实数都有等比中项． ( )
(2)在等比数列{an}中，a2·a8＝a10. ( )
(3)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列． ( )
(4)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5等于( )
A．± B．－ C. D．±
C [在等比数列中，a＝a1·a5，所以a5＝＝.]
3．(教材P34练习AT3改编)等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于( )
A．4 B．8 C．16 D．32
C [∵{an}是等比数列，
∴a2·a6＝a＝16.]
4．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝________.
25 [∵{an}是等比数列，
∴a8·a11＝a9·a10＝a7·a12，
∴a8a9a10a11＝(a9a10)2＝(a7a12)2＝52＝25.]
