4.2.5 正态分布
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．了解二项分布与正态曲线的关系，能借助正态曲线理解正态曲线的性质．(重点)
2．掌握正态分布的定义，会利用正态分布解决实际问题．(重点)
3．了解正态分布与标准正态分布的转换，能利用标准正态分布表求得标准正态分布在某一区间内取值的概率．(难点)
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1．通过学习正态分布和标准正态分布，体会数学抽象与直观想象的素养．
2．借助正态分布中的“3σ原则”解题及标准正态分布函数φ(x)的函数值计算正态分布X～N(μ，σ2)在某一区间内取值的概率，提升数学运算的素养.
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小概率事件是指发生的概率小于3%的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约33次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸(单位：cm)X～N(4,0.25)．质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？
1．正态曲线及其性质
(1)正态曲线的定义
一般地，函数φμ，σ(x)＝e对应的图像称为正态曲线，其中μ＝E(X)，σ＝.
(2)正态曲线的性质
①正态曲线关于x＝μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点；
②正态曲线与x轴所围成的图形面积为1；
③σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”．
2．正态分布
(1)一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ，σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ与σ的正态分布，记作X～N(μ，σ2)，此时φμ，σ(x)称为X的概率密度函数．
(2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率值
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%.
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%.
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.
思考1：如果X～N(μ，σ2)，那么P(x≤μ)与P(x≥μ)之间存在怎样的等量关系？
[提示] P(x≤μ)＝P(x≥μ)＝.
3．标准正态分布
(1)定义：μ＝0且σ＝1的分布称为标准正态分布，记作X～N(0,1)．
(2)概率计算方法：
如果X～N(0,1)，那么对于任意a，通常记Φ(a)＝P(x＜a)，其中Φ(a)表示N(0,1)对应的正态曲线与x轴在区间(－∞，a)内所围的面积．
特别地，Φ(－a)＋Φ(a)＝1.
思考2：正态分布Y～N(μ，σ2)化为标准正态分布的变换是什么？
[提示] 借助X＝实现转换．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正态曲线是一条钟形曲线． ( )
(2)正态曲线可以关于y轴对称． ( )
(3)正态曲线与x轴围成的面积随参数μ，σ的变化而变化． ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
