4.2.3 二项分布与超几何分布
第1课时 n次独立重复试验与二项分布
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．理解n次独立重复试验的模型．(重点)
2．理解二项分布．(难点)
3．能利用n次独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题.
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1．通过学习n次独立重复试验及二项分布，体会数学抽象的素养．
2．借助二项分布解题，提高数学运算的素养.
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在学校组织的高二篮球比赛中，通过小组循环，甲、乙两班顺利进入最后的决赛．在每一场比赛中，甲班取胜的概率为0.6，乙班取胜的概率是0.4，比赛既可以采用三局两胜制，又可以采用五局三胜制．
问题：如果你是甲班的一名同学，你认为采用哪种赛制对你班更有利？
1．n次独立重复试验
在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验．
思考：独立重复试验必须具备哪些条件？
[提示] (1)每次试验的条件完全相同，相同事件的概率不变；
(2)各次试验结果互不影响；
(3)每次试验结果只有两种，这两种结果是对立的．
2．二项分布
一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0,1，…，k，…，n}，
而且P(X＝k)＝Cpkqn－k，k＝0,1，…，n，
因此X的分布列如下表所示．
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X
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0
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1
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…
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k
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…
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n
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P
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Cp0qn
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Cp1qn－1
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…
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Cpkqn－k
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…
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Cpnq0
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注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)n次独立重复试验的每次试验结果可以有多种． ( )
(2)两点分布是特殊的二项分布． ( )
(3)二项分布可以看作是有放回抽样． ( )
(4)n次独立重复试验中，每次试验的条件可以略有不同． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．若X～B(10,0.8)，则P(X＝8)等于( )
A．C×0.88×0.22 B．C×0.82×0.28
C．0.88×0.22 D．0.82×0.28
A [∵X～B(10,0.8)，∴P(X＝8)＝C×0.88×0.22，故选A.]
3．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．
[抛掷一枚硬币出现正面的概率为，由于每次试验的结果不受影响，故由n次独立重复试验可知，所求概率为P＝C＝.]
4．下列说法正确的是________．(填序号)
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6)；
②某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，p)；
③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B.
①② [①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．]
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独立重复试验的概率
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【例1】 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．
(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．
[解] (1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验．
