3.2.2 复数代数形式的乘除运算
|
学 习 目 标
|
核 心 素 养
|
|
1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算．(重点、难点)
2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(易混点)
3．了解共轭复数的概念．(难点)
|
1．通过复数代数形式的乘法、除法的学习，培养学生的数学运算核心素养．
2．通过共轭复数及其应用的学习，提升学生的数学运算核心素养.
|
1．复数代数形式的乘法法则
(1)复数代数形式的乘法法则
已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
思考1：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？
[提示] 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．
(2)复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
|
交换律
|
z1·z2＝z2·z1
|
|
结合律
|
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
|
|
乘法对加法的分配律
|
z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3
|
思考2：|z|2＝z2，正确吗？
[提示] 不正确．例如，|i|2＝1，而i2＝－1.
2．共轭复数
如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示．即z＝a＋bi，则＝a－bi.
3．复数代数形式的除法法则
(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(c＋di≠0)．
1．复数(3＋2i)i等于( )
A．－2－3i B．－2＋3i
C．2－3i D．2＋3i
B [(3＋2i)i＝3i＋2i·i＝－2＋3i，选B.]
2．已知复数z＝2－i，则z·的值为( )
A．5 B． C．3 D.
A [z·＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5，故选A.]
3．(2－i)÷i＝________.
－1－2i [(2－i)÷i＝＝＝－1－2i.]
4．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2＝________.
1＋i [＋z2＝＋(1＋i)2＝＋1＋2i＋i2
＝1－i＋2i＝1＋i.]
|
|
复数乘法的运算
|
【例1】 (1)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
(2)计算：
①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；
②(3＋4i)(3－4i)；
③(1＋i)2.
(1)B [z＝＝＋i，因为对应的点在第二象限，
所以
解得a<－1，故选B.]
(2)[解] ①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)
＝－20＋15i.
②(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25.
③(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.
