§2 两角和与差的三角函数
2.1 两角差的余弦函数
2.2 两角和与差的正弦、余弦函数
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.了解两角差的余弦公式的推导过程．
2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦、余弦公式．(重点)
3.会利用公式解决简单的化简求值问题．(难点)
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1.通过推导两角和与差的正弦、余弦公式，体会逻辑推理素养．
2.通过利用公式解决简单的化简求值问题，提升数学运算素养．
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1．两角差的余弦公式
cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．(Cα－β)
2．两角和的余弦公式
cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β．(Cα＋β)
3．两角和与差的正弦公式
(1)sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β．(Sα＋β)，
(2)sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β．(Sα－β).
思考：如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？
[提示] sin (α＋β)＝cos ＝cos ＝
cos cos β＋sin sin β＝sin αcos β＋
cos αsin β.
1．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于( )
A． B．－ C．0 D．1
C [逆用两角和的余弦公式可得cos 75°cos 15°－sin 75°·sin 15°＝cos (75°＋15°)＝cos 90°＝0.]
2．cos 75°＝________．
[cos 75°＝cos (30°＋45°)＝cos 30°cos 45°－
sin 30°sin 45°＝.]
3．cos (x－y)cos y－sin (x－y)sin y＝________．
cos x [原式＝cos [(x－y)＋y]＝cos x．]
4．cos 66°·cos 36°＋cos 24°·cos 54°的值为________．
[cos 66°·cos 36°＋cos 24°·cos 54°
＝cos 66°·cos 36°＋sin 66°·sin 36°
＝cos (66°－36°)＝cos 30°
＝.]
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给角求值
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【例1】 求下列各式的值：
(1)cos 105°＋sin 195°；
(2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；
(3)sin －cos .
[解] (1)cos 105°＋sin 195°
＝cos (90°＋15°)＋sin (180°＋15°)
＝－sin 15°－sin 15°＝－2sin 15°
＝－2sin (45°－30°)
＝－2(sin 45°·cos 30°－cos 45°·sin 30°)
＝－2＝.
(2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°
＝sin 14°cos 16°＋sin (90°－14°)cos (90°－16°)
＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°
＝sin (14°＋16°)＝sin 30°＝.
(3)法一：sin －cos
＝2
＝2
