3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点)
2.理解用向量法导出公式的主要步骤．(难点)
3.熟练利用两角差余弦公式进行求值计算．(重点、易混点)
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1.借助用向量法推导两角差的余弦公式，培养学生的逻辑推理素养.
2.通过用两角差余弦公式进行化简、求值，提升学生的数学运算和数据分析的核心素养.
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1．两角差的余弦公式
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公式
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cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
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适用条件
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公式中的角α，β都是任意角
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公式结构
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公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反
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思考：cos(α－β)＝cos α－cos β成立吗？
[提示] 不一定成立，这是对公式的误解．
2．两角差的余弦公式的推导
在平面直角坐标系中作单位圆O，以Ox为始边作α，β，它们的终边与单位圆分别交A，B，则
图1
＝(cos α，sin α)，＝(cos β，sin β)，
∴·＝cos αcos β＋sin αsin β，
设与的夹角为θ，则由数量积定义知
·＝||||cos θ＝cos θ，
∴cos θ＝cos αcos β＋sin αsin β.
∵α＝2kπ＋β＋θ(如图1)或α＝2kπ＋β－θ(k∈Z)(如图2)，∴α－β＝2kπ±θ(k∈Z)，
图2
所以cos(α－β)＝cos θ，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
1．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°等于( )
A．cos 100° B．sin 100°
C. D.
C [原式＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝.]
2．cos(－15°)的值是( )
A. B.
C. D.
D [cos(－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝.]
3．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝ .
[原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝.]
4．已知α是锐角，sin α＝，则cos＝ .
[由条件可求的cos α＝，∴cos＝coscos α＋sinsin α＝×＋×＝.]
