第2课时 空间向量与垂直关系
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系．(重点)
2．掌握用向量方法证明有关空间垂直关系的方法步骤．(重点、难点)
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借助应用向量证明线面垂直和面面垂直的学习，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养．
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空间中垂直关系的向量表示
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线线垂直
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设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
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线面垂直
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设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)
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面面垂直
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若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β ⇔ u⊥v ⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
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思考：若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？
[提示] 垂直．
1．若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l⊂α D．l与α斜交
B [∵n＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a，
∴n∥a，∴l⊥α．]
2．设直线l的方向向量u＝(－2,2，t)，平面α的一个法向量v＝(6，－6,12)，若直线l⊥平面α，则实数t等于( )
A．4 B．－4
C．2 D．－2
B [因为直线l⊥平面α，所以u∥v，则＝＝，解得t＝－4，故选B．]
3．若直线l1的方向向量为u1＝(1,3,2)，直线l2上有两点A(1,0，1)，B(2，－1,2)，则两直线的位置关系是______．
l1⊥l2 [＝(1，－1,1)，u1·＝1×1－3×1＋2×1＝0，因此l1⊥l2．]
4．已知两平面α，β的法向量分别为u1＝(1,0,1)，u2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________．
α⊥β [u1·u2＝0，则α⊥β．]
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用向量方法处理线线垂直问题
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【例1】 (1)已知空间三点A(0,0,1)，B(－1,1,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________．
(2)如图，△ABC中，AC＝BC，D为AB边中点，PO⊥平面ABC，垂足O在CD上，求证：AB⊥PC．
(1) [设M(x，y，z)，又＝(－1,1,0)，
＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y－2，z＋3)，
由点M在直线AB上得与共线，＝λ，即x＝－λ，y＝λ，z－1＝0，
又CM⊥AB，向量与向量的数量积为0，
即·＝0，得－(x－1)＋(y－2)＝0，
联立得
所以x＝－，y＝，z＝1，
所以点M的坐标为．]
