3.1.3 空间向量的数量积运算
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法．
2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)
3．能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)
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1．通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养．
2．借助利用空间向量数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养．
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1．空间向量的夹角
(1)夹角的定义
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)夹角的范围
空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量垂直，记作a⊥b．
2．空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)数量积的运算律：
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数乘向量与数量积的结合律
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(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
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交换律
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a·b＝b·a
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分配律
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a·(b＋c)＝a·b＋a·c
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(3)空间两向量的数量积的性质：
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垂直
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若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0
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共线
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同向：则a·b＝|a|·|b|
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反向：则a·b＝－|a|·|b|
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向量数量积的性质
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模
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a· a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2
|a|＝
|a·b|≤|a|·|b|
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夹角
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θ为a，b的夹角，则cos θ＝
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思考：(1)若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？
(2)若a·b>0，则〈a，b〉一定是锐角吗？
[提示] (1)若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0．
(2)当〈a，b〉＝0时，也有a·b>0，故当a·b>0时，〈a·b〉不一定是锐角．
1．下列各命题中，不正确的命题的个数为( )
①＝|a|；②m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R)；
③a·(b＋c)＝(b＋c)·a；④a2b＝b2a．
A．0 B．3
C．2 D．1
D [命题①②③正确，④不正确．]
2．已知正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为a，设＝a，＝b，＝c，则〈，〉等于( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
D [△B′D′C是等边三角形，〈，〉＝〈，〉＝120°．]
3．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________．
π [cos〈a，b〉＝＝＝－．
所以〈a，b〉＝π．]
4．在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则|AC′|＝________．
[＝＋＋，
2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝42＋52＋32＋2×4×5×cos 60°＋2×4×3×cos 60°＋2×5×3×cos 60°
＝16＋25＋9＋20＋12＋15＝97，
∴|AC′|＝．]
