3.3.3 函数的最大(小)值与导数
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．能够区分极值与最值两个不同的概念．(易混点)
2．掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法．(重点)
3．能根据函数的最值求参数的值．(难点)
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1．通过学习导数与最值的关系，培养学生数学直观的素养．
2．借助函数最值的求法，提升逻辑推理和数学运算的素养.
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1．函数f(x)在区间[a，b]上的最值
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得．
思考：若函数f(x)在区间[a，b]上只有一个极大值点x0，则f(x0)是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值吗？
[提示] 根据极大值和最大值的定义知，f(x0)是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值．
2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
1．下列说法正确的是( )
A．函数的极大值就是函数的最大值
B．函数的极小值就是函数的最小值
C．函数的最值一定是极值
D．在闭区间上的连续函数一定存在最值
D [极值有可能是最值，但最值未必是极值，故选D．]
2．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是( )
A．π－1 B．－1
C．π D．π＋1
C [y′＝1－cos x>0，故函数y＝x－sin x，x∈是增函数，因此当x＝π时，函数有最大值，且ymax＝π－sin π＝π.]
3．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )
A．－2 B．0
C．2 D．4
C [f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.
由f(－1)＝－2，f(0)＝2，f(1)＝0得f(x)max＝f(0)＝2.]
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求函数的最值
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【例1】 求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝2x3－3x2－12x＋5，x∈[－2,1]；
(2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]．
[解] (1)f′(x)＝6x2－6x－12，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝2，
又x∈[－2,1]，故x＝－1，且f(－1)＝12.
又因为f(－2)＝1，f(1)＝－8，
所以，当x＝－1时，f(x)取最大值12；
当x＝1时，f(x)取最小值－8.
(2)∵f(x)＝3ex－exx2，
∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)
＝－ex(x2＋2x－3)
＝－ex(x＋3)(x－1)．
∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)＜0，
即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，
∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；
x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.
求函数在闭区间上最值的步骤
(1)求f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(2)确定在闭区间上方程f′(x)＝0的根；
(3)求极值、端点值，确定最值.
