3.1.3 导数的几何意义
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点)
2．理解导函数的概念，会求简单函数的导函数．(重点)
3．理解在某点处与过某点的切线方程的区别．(难点、易混点)
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1．通过学习导数的几何意义，培养学生数学抽象的素养.
2．借助导数的几何意义解题，培养学生的数学运算素养.
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1．导数的几何意义
(1)切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．
(1) (2)
(3) (4)
(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，则k＝ ＝f′(x0)．
(3)切线方程：
曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
思考：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？
[提示] 不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．
2．导函数的概念
(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．
(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝ .
1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝( )
A．4 B．－4
C．－2 D．2
D [由导数的几何意义知f′(1)＝2，故选D．]
2．已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为________．
45° [设切线的倾斜角为α，则tan α＝f′(x0)＝1，又α∈[0°，180°)，∴α＝45°.]
3．若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________．
x＋y－3＝0 [切线的斜率为k＝－1.
∴点A(1,2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.]
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导数的几何意义
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【例1】 (1)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)<f′(xB)
C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
(2)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
(1)B (2)A [(1)由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)<f′(xB)．
