3.1 变化率与导数
3.1.1 变化率问题
3.1.2 导数的概念
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.了解导数概念的实际背景．(难点)
2.会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)
3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)
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1．通过学习导数概念，培养学生数学抽象的素养.
2.借助导数的定义求函数在某点的导数，培养数学运算的素养.
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1．函数的平均变化率
(1)定义式：＝.
(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．
(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的斜率．
思考：Δx，Δy的取值一定是正数吗？
[提示] Δx≠0，Δy∈R.
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
(1)定义式： ＝ .
(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值．
(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．
3．函数f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝ .
1．下列说法错误的是( )
A．函数的平均变化率可以大于零
B．函数的平均变化率可以小于零
C．函数的平均变化率可以等于零
D．函数的平均变化率不能等于零
D [函数的平均变化率为，显然其值是可正、可负、可为零的，故选D．]
2．已知函数f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A．0.40 B．0.41
C．0.43 D．0.44
B [Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2.12－4＝0.41.]
3．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为( )
A．0.41 B．3
C．4 D．4.1
D [＝＝4.1.]
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求函数的平均变化率
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【例1】 (1)若函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则＝( )
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
(2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为__________．
(3)球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为__________．
