3.4 生活中的优化问题举例
|
学 习 目 标
|
核 心 素 养
|
|
1.了解导数在解决实际问题中的作用.
2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．(重、难点)
|
借助导数解决实际问题，提升数学建模、数学运算的素养.
|
1．生活中的优化问题
(1)生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
(2)用导数解决优化问题的实质是求函数的最值．
2．用导数解决优化问题的基本思路
1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．7万件 B．9万件
C．11万件 D．13万件
B [设y＝f(x)，即f(x)＝－x3＋81x－234，故f′(x)＝－x2＋81.令f′(x)＝0，即－x2＋81＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)．
当0<x<9时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增；
当x>9时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减．
因此，当x＝9时，y＝f(x)取最大值．
故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]
2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B．
C．－1 D．－8
C [由题意，f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，∵0≤x≤5，∴x＝1时，f′(x)的最小值为－1，即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1.]
3．电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y＝x3－x2－40x(x>0)．为使耗电量最小，则速度应定为__________．
40 [y′＝x2－39x－40，令y′＝0，即x2－39x－40＝0，
解得x＝40或x＝－1(舍)．
当0<x<40时，y′<0，当x>40时，y′>0，
所以当x＝40时，函数y＝x3－x2－40x有最小值．]
|
|
面积、体积的最值问题
|
【例1】 用长为90 cm、宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
[思路点拨] ―→
―→―→
[解] 设容器的高为x cm，容器的容积为V(x)cm3，则
V(x)＝x(90－2x)(48－2x)
＝4x3－276x2＋4 320x(0＜x＜24)．
所以V′(x)＝12x2－552x＋4 320
＝12(x2－46x＋360)
＝12(x－10)(x－36)．
令V′(x)＝0，得x＝10或x＝36(舍去)．
当0＜x＜10时，V′(x)＞0，即V(x)单调递增；
当10＜x＜24时，V′(x)＜0，即V(x)单调递减．
因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝19 600(cm3)．
因此当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm3.
