2.2 双曲线
2.2.1 双曲线及其标准方程
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)
2.掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点)
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1．通过双曲线的学习，培养学生直观想象的素养.
2.借助双曲线标准方程的推导，提升数学运算的素养.
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1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线的定义中，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，
且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
[提示] (1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(2)点M在双曲线的右支上．
2．双曲线的标准方程
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焦点在x轴上
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焦点在y轴上
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标准方程
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－＝1(a＞0，b＞0)
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－＝1(a＞0，b＞0)
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焦点
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F1(－c,0)，F2(c,0)
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F1(0，－c)，F2(0，c)
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a，b，c的关系
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c2＝a2＋b2
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1．已知动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．两条射线 D．一条射线
D [∵|PM|－|PN|＝2＝|MN|，
∴点P在线段MN的延长线上，即点P的轨迹是一条射线．]
2．双曲线－＝1的焦距为( )
A．3 B．4
C．3 D．4
D [c2＝10＋2＝12，所以c＝2，从而焦距为4.]
3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为( )
A．－＝1
B．－＝1
C．－＝1或－＝1
D．－＝0或－＝0
C [b2＝c2－a2＝72－52＝24，故选C．]
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对双曲线标准方程的理解
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【例1】 已知曲线方程－＝1.
(1)若方程表示双曲线，求实数m的取值范围；
(2)若方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围；
(3)若方程表示椭圆，求实数m的取值范围．
[解] (1)依题意有(m－1)(m2－4)>0，即(m－1)(m＋2)(m－2)>0，解得－2<m<1或m>2.
(2)依题意有解得－2<m<1.
(3)依题意有解得1<m<2.
给出方程＝1，则该方程：
(1)表示双曲线的条件是mn>0；
(2)表示焦点在x轴上的双曲线的条件是m>0，n>0；
(3)表示焦点在y轴上的双曲线的条件是m<0，n<0；
(4)表示椭圆的条件是m>0，n<0.
