2.4 抛物线
2.4.1 抛物线及其标准方程
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点)
2．掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点)
3．明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点)
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1．通过抛物线定义的学习，培养数学抽象核心素养．
2．通过抛物线定义及标准方程的应用，培养学生的直观想象、数学建模等核心素养．
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1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
思考1：抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？
[提示] 点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．
2．抛物线的标准方程
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图形
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标准方程
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焦点坐标
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准线方程
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y2＝2px(p>0)
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F
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x＝－
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y2＝－2px(p>0)
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F
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x＝
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x2＝2py(p>0)
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F
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y＝－
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x2＝－2py(p>0)
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F
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y＝
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思考2：(1)抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么？
(2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？
[提示] (1)p的几何意义是焦点到准线的距离．
(2)根据抛物线方程中一次式±2px，±2py来确定焦点位置，“x，y”表示焦点在x轴或y轴上，系数“±2p”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上．
1．抛物线x2＋8y＝0的焦点坐标是( )
A．(0,2) B．(0，－2)
C．(0,4) D．(0，－4)
B [抛物线x2＝－8y的焦点在y轴的负半轴上，且＝2，因此焦点坐标是(0，－2)．]
2．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( )
A．1 B．2 C．4 D．8
C [由y2＝8x得p＝4，即焦点到准线的距离为4．]
3．抛物线x＝4y2的准线方程是( )
A．y＝ B．y＝－1
C．x＝－ D．x＝
C [由x＝4y2得y2＝x，故准线方程为x＝－．]
4．抛物线y2＝－12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是________．
(－6,6)或(－6，－6) [由y2＝－12x知p＝6，准线方程为x＝3，设抛物线上点P(x，y)，由抛物线定义可知－x＋3＝9，x＝－6，将x＝－6代入y2＝－12x，得y＝±6，所以满足条件的点为(－6,6)或(－6，－6)．]
