2.3.2 双曲线的简单几何性质
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．掌握双曲线的简单几何性质．(重点)
2．理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(重点)
3．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．(难点)
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1．通过学习双曲线的几何性质，培养学生的直观想象、数学运算核心素养．
2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升学生的直观想象及数学运算、逻辑推理核心素养．
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1．双曲线的几何性质
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标准方程
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－＝1(a＞0，b＞0)
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－＝1(a＞0，b＞0)
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图形
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性质
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范围
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x≥a或x≤－a
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y≤－a或y≥a
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对称性
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对称轴：坐标轴，对称中心：原点
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顶点
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(－a,0)，(a,0)
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(0，－a)，(0，a)
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轴长
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实轴长＝2a，虚轴长＝2b
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离心率
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e＝>1
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渐近线
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y＝±x
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y＝±x
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思考：(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？
(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？
[提示] (1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．
(2)e2＝＝1＋，是渐近线的斜率或其倒数．
2．双曲线的中心和等轴双曲线
(1)双曲线的中心
双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．
(2)等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝．
1．双曲线－y2＝1的顶点坐标是( )
A．(4,0)，(0,1) B．(－4,0)，(4,0)
C．(0,1)，(0，－1) D．(－4,0)，(0，－1)
B [由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且a＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)．]
2．已知双曲线9y2－m2x2＝1(m＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
D [方程9y2－m2x2＝1(m＞0)可化为－＝1(m＞0)，则a＝，b＝，取顶点，一条渐近线为mx－3y＝0，所以＝，则m2＋9＝25．
∵m＞0，∴m＝4．]
3．若双曲线－＝1(m＞0)的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是________．
(－，0)，(，0) [由双曲线方程得出其渐近线方程为y＝±x，∴m＝3，求得双曲线方程为－＝1，从而得到焦点坐标为(－，0)，(，0)．]
4．离心率e＝，经过点M(3，－5)的双曲线的标准方程为________．
－＝1 [由＝，得c＝a，∴c2＝2a2＝a2＋b2，∴a2＝b2．
由点M(3，－5)在y＝－x的下方可知双曲线焦点在y轴上，
设双曲线的标准方程为－＝1，将点M(3，－5)代入得－＝1，解得a2＝16．
所以双曲线的标准方程为－＝1．]
