2.3 数学归纳法
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.了解数学归纳法的原理．(难点、易混点)
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点)
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1.通过数学归纳法定义的学习，体现了数学抽象的核心素养.
2.通过数学归纳法的应用，培养学生的逻辑推理的核心素养.
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1．数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)归纳递推：假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．
思考：数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?
[提示] 不一定．如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3.
2．数学归纳法的框图表示
1．下面四个判断中，正确的是( )
A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1
B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋k
C．式子1＋＋＋…＋(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋＋
D．设f (n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f (k＋1)＝f (k)＋＋＋
C [A中，n＝1时，式子＝1＋k；
B中，n＝1时，式子＝1；
C中，n＝1时，式子＝1＋＋；
D中，f (k＋1)＝f (k)＋＋＋－.故正确的是C.]
2．如果命题p(n)对所有正偶数n都成立，则用数学归纳法证明时，先验证n＝________成立．
[答案] 2
3.已知Sn＝＋＋＋…＋，则S1＝________，S2＝________，S3＝________，S4＝________，猜想Sn＝________.
[分别将1,2,3,4代入得S1＝， S2＝，S3＝，S4＝，
观察猜想得Sn＝.]
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用数学归纳法证明等式
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【例1】 (1)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为________．
(2)用数学归纳法证明：
＋＋…＋＝(n∈N*)．
(1)2(2k＋1) [令f (n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则
f (k)＝(k＋1) (k＋2)…(k＋k)，
f (k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以＝＝2(2k＋1)．]
(2)证明： ①当n＝1时，＝成立．
②假设当n＝k(n∈N*)时等式成立，即有
＋＋…＋＝，
则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝，
