2.3.2 离散型随机变量的方差
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．
2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(重点)
3．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．(难点)
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1．通过离散型随机变量的方差的学习，体会数学抽象的素养．
2．借助方差解决实际问题，提高数学运算的素养.
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1．离散型随机变量的方差、标准差
(1)定义：设离散型随机变量X的分布列为
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X
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x1
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x2
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…
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xi
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…
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xn
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P
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p1
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p2
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…
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pi
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…
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pn
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则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差．
(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．
思考：随机变量的方差与样本方差有什么关系？
[提示] 随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．
2．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差
(1)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)；
(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．
3．离散型随机变量方差的线性运算性质
设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．
1．若随机变量X服从两点分布，且在一次试验中事件A发生的概率P＝0.5，则E(X)和D(X)分别为( )
A．0.25；0.5 B．0.5；0.75
C．0.5；0.25 D．1；0.75
C [E(X)＝0.5，D(X)＝0.5×(1－0.5)＝0.25.]
2．已知随机变量ξ，D(ξ)＝，则ξ的标准差为________．
[ξ的标准差＝＝.]
3．已知随机变量ξ的分布列如下表：
则ξ的均值为________，方差为________．
－ [均值E(ξ)＝(－1)×＋0×＋1×＝－；
方差D(ξ)＝－1＋2×＋0＋2×＋1＋2×＝.]
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求随机变量的方差与标准差
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【例1】 已知X的分布列如下：
(1)求X2的分布列；
(2)计算X的方差；
(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．
[解] (1)由分布列的性质，知＋＋a＝1，故a＝，从而X2的分布列为
