2.4 正态分布
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义．(重点)
2.能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义．(重点)
3.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率．(难点)
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1.通过学习正态分布，体会数学抽象和直观想象的素养.
2.借助“3σ”原则解题，提升数学运算的素养.
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1．正态曲线
若φμ，σ(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
2．正态分布
如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝φμ，σ(x)，则称随机变量X服从正态分布．
正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．
思考：如何估计参数μ，σ的值？
[提示] 参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
3．正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(3)曲线在x＝μ处达到峰值；
(4)曲线与x轴之间的面积为1；
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
4．3σ原则
(1)若X～N(μ，σ2)，则对于任何实数a>0，P(μ－a<X≤μ＋a)＝φμ，σ(x)dx.
(2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率：
P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7，
P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5，
P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(3)通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．
1．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，则P(X<2)＝( )
A. B.
C. D.
D [由题意知X的均值为2，因此P(X<2)＝.]
2．正态曲线关于y轴对称，则它所对应的正态总体均值为( )
A．1 B．－1
C．0 D．不确定
C [由正态曲线性质知均值为0.]
3．正态分布的概率密度函数P(x)＝e在(3,7]内取值的概率为________．
0.682 7 [由题意可知X～N(5,4)，且μ＝5，σ＝2，
所以P(3<X≤7)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 7.]
